ÉPREUVES ORALES

Les candidats ont le choix entre quatre options :

Option A : probabilité et statistiques

Option B: calcul scientifique

Option C : algèbre et calcul formel

Option D : informatique

Epreuves des options A : probabilité et statistiques, B : calcul scientifique et C : algèbre et calcul formel

1^re Épreuve : Épreuve d’Algèbre et Géométrie

2^e Épreuve : Épreuve d’Analyse et Probabilités

Le programme des ces deux épreuves, communes aux options A, B et C, est constitué des titres I à XI ci-dessus.

3^e Épreuve : Épreuve de Modélisation

L’épreuve porte sur un programme commun aux options A, B et C et sur un programme spécifique à l’option choisie.

L’épreuve consiste en un exposé de modélisation mathématique construit en partant d’un texte proposé par le jury. Le programme définit un cadre de théories mathématiques et de techniques d’application adaptées pour l’épreuve. Ce programme comporte une partie commune aux options A, B et C et, pour chacune de ces options, une partie spécifique.

Programme de la partie commune aux options A, B et C

Le programme de cette partie comprend les méthodes numériques, probabilistes, statistiques et symboliques citées dans les programmes des épreuves écrites et celles citées dans les paragraphes suivants.

Les logiciels Maple, Mathematica , ou MuPAD, et Matlab ou Scilab pourront être utilisés pour appliquer ces méthodes en appui de l’exposé ou en réponse aux questions du jury.

Les candidats devront pouvoir montrer leur capacité à :

• mettre en œuvre avec précision et rigueur les concepts et outils mathématiques au programme,

• distinguer les représentations exactes ou approchées des objets mathématiques ;

• évaluer le coût et les limitations des algorithmes : complexité, précision numérique ;

• analyser la pertinence des modèles.

1. Modèles

Probabilités discrètes (tirages uniformes, probabilités conditionnelles). Échantillons. Lois de probabilités classiques. Chaînes de Markov (espaces d’états finis, temps discret).

Équations différentielles ordinaires. Espaces de phase. Étude qualitative. Stabilité.

3. Validation et précision de résultats

Méthodes numériques : conditionnement des systèmes linéaires. Précision du schéma numérique d’Euler pour le problème de Cauchy pour un système différentiel de la forme

X  = f (X, t).

Précision statistique : intervalle de confiance d’une moyenne.

Méthode de Monte Carlo pour les intégrales multiples.

4. Ajustement de modèles

Moindres carrés linéaires (expression avec et sans contrainte) ; exemples non linéaires.

Modèles linéaires simples en dimension 1, test d’ajustement du ².

5. Calcul numérique et symbolique

Utilisation des logiciels au programme : intégration, différentiation, calcul de sommes et d’intégrales, résolution d’équations algébriques et différentielles.