Programme spécifique de l'option A.

Utilisation de lois usuelles pour modéliser certains phénomènes aléatoires. *Exemples : processus de comptage, temps d’attente ou durée de vie, erreurs de mesure, taille d’une population, sondages. *

Convergence presque sûre. Lemme de Borel-Cantelli. Loi forte des grands nombres. Fonction de répartition empirique et test de Kolmogorov-Smirnov.

Vecteurs gaussiens : simulation, estimation par moindres carrés. Théorème de limite centrale vectoriel. Test du ², exemples d’utilisation.

Modèle linéaire gaussien : calculs par moindres carrés, régression simple ou multiple, exemples d’utilisation. *Utilisation de l’analyse de variance à un facteur.*

Calcul d’intervalles de confiance pour un paramètre de loi binomiale et pour une moyenne de variables aléatoires gaussiennes indépendantes.

Méthode de Monte-Carlo et calcul d’intervalles de confiance : exemples de calculs d’intégrales multidimensionnelles. *Algorithmes de simulation de variables aléatoires à partir de générateurs pseudo-aléatoires uniformes.*

Fonctions génératrices : applications. *Exemples : processus de branchement, files d’attente.*

Chaînes de Markov homogènes à espace d’états finis. Convergence vers une loi stationnaire : conséquences du théorème de Perron-Frobenius et des résultats de réduction matricielle (programme des épreuves écrites, §I « Algèbre Linéaire » alinéa 6). Ergodicité. Notion d’état absorbant. *Espace d’états infini dénombrable : transience, récurrence positive ou nulle, par exemple dans le cas de marches aléatoires, de processus de type Galton-Watson, ou de files d’attente.*

*Exemples d’utilisation des théorèmes de convergence presque sûre et L2 des martingales à temps discret. Applications à la ruine du joueur, à des processus de type Galton-Watson, à des files d’attente, à des modèles financiers, ou à des algorithmes d’approximation stochastique.*